|
|
Vychylující teorie pro kvazikoherentní svazky
Čoupek, Pavel ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Trlifaj, Jan (oponent)
V práci zavádíme definici 1-kovychylujícího objektu v Grothendieckově kategorii a studujeme vztah této definice k analogii standardní definice 1- kovychylujícího modulu. Zejména pak studujeme 1-kovychylující svazky na noetherovském schématu X: za požití klasifikace dědičných torzních párů kategorie kvazikoherentních svazků na X přiřadíme každé beztorzní dědičné třídě F, která je generující, 1-kovychylující kvazikoherentní svazek, jehož 1- kovychylující třída je rovna F. Obdržíme tak množinu po dvou neekvivalentních 1-kovychylujících kvazikoherentních svazků parametrizovaných podmnožinami X uzavřenými na specializace, které neobsahují množinu asociovaných bodů zv- oleného generátoru kategorie kvazikoherentních svazků. V mnohých případech (např. pro separovaná schémata) lze tuto množinu zakázaných bodů volit jako množinu asociovaných bodů samotného schématu. 1
|
|
|
Elliptic Curves and Diophantine Equations
Klepáč, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Shaul, Liran (oponent)
Pro danou rovnici f(x, y) = 0, kde f je polynom dvou proměnných s racionálními koeficienty a stupně nižšího nebo rovného třem, budeme studovat vlastnosti množiny jejích racionálních řešení. Ukážeme, že je-li f ireducibilní stupně tři, pak příslušná kubická křivka je biracionálně ekvivalentní speciální kubické křivce, běžně nazývané eliptická. Dále definujeme grupovou strukturu na množině všech racionálních bodů eliptické křivky a na konec dokážeme Nagell-Lutzové větu, která dí, že všechny racionální body konečného řádu v takto definované grupě mají celočíselné souřadnice. 1
|
|
|
Aplikace Groebnerových bází
Skalová, Marie ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Groebnerovy báze lze využít jako nástroj algebraické geometrie s aplikací v dokazo- vání geometrických tvrzení. V této práci představujeme metodu automatického dokazo- vání geometrických tvrzení ve dvou variantách, nejprve podle učebnice D. Cox, J. Little, D. O'Shea Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, následně podle učebnice D. Stanovský, L. Barto, Počítačová algebra. Nejprve zde shrneme potřebnou teorii k odvození metody automa- tického dokazování. Dále teorii potřebnou k definici Groebnerovy báze a k vyslovení vět popisující její základní vlastnosti. Součástí práce jsou řešené příklady, na kterých jednot- livé kroky metody motivujeme, a také řešené příklady z již zmíněné učebnice autorů D. Cox, J. Little, D. O'Shea, některé z nich oběma variantami. V druhé kapitole se nachází vlastní důkaz rozkladu konkrétní algebraické množiny. 1
|
|
|
Synthetic projective geometry
Zamboj, Michal ; Krump, Lukáš (vedoucí práce) ; Janyška, Josef (oponent) ; Velichová, Daniela (oponent)
V předložené práci podáváme syntetický pohled ke konstrukci, metodám a vy- braným výsledkům projektivní geometrie. Jsou okomentovány základní historické nedostatky originálního důkazu Chaslesovy věty pro nerozvinutelné přímkové plochy a von Staudtova formalizace projektivní geometrie. Příslušný teoretický podklad je rozpracován ve vizuálních demonstracích s důrazem na vztahy mezi klasickým syntetickým, axiomatickým a analytickým pojetím. Syntetické metody projektivní geometrie a smíšení syntetických a analytických metod je prezen- továno na příkladech zahrňujících několik alternativních důkazů a zobecnění známých vět. Detailně je podána metoda čtyřrozměrného zobrazování. Základní konstrukce obrazů bodů, přímek, rovin a 3-prostorů jsou následovány modely nadtěles, jejích řezů a stínů. Chaslesova věta je se syntetickými vizualizacemi dokázána pro zborcené kvadriky, a následně generalizována a dokázána čistě projektivně pro algebraické plochy. Syntetická klasifikace regulárních kvadrik je odvozena z deskriptivně geometrické konstrukce řezů čtyřrozměrných kuželů a analyticky ověřena v projektivním rozšíření reálného prostoru. Důležitou součástí práce je přiložena online kniha...
|
|
|
Quotients in algebraic geometry
Kopřiva, Jakub ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Tato diplomová práce se zabývá existencí pushoutů ve dvou různých kontextech algebraické geometrie. Nejprve studujeme pushouty v kategorii afinních algebraických množin nad nekonečným tělesem. Ukazujeme, že lze tento problém nazírat jako instanci mnohem obecnějšího problému, kdy je pullback konečně generovaných algeber nad komutativním noetherovským okruhem konečně generovaný. Dáváme částečné řešení toho problému a stu- dujeme některé příklady. Dále se zabýváme existencí pushoutů v katego- rii schémat s důrazem na diagramy afinních schémat. Používáme metody Ferranda [2003] a Schwedeho [2004] a zobecňujeme některé jejich výsledky. Na závěr uvádíme rovněž příklady a naznačujeme možný další přístup k prob- lému.
|
|
|
Planimetrické problémy řešené algebraickou geometrií
Trummová, Ivana ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Růžička, Pavel (oponent)
Práce je zaměřena na oblast algebraické geometrie, která se zabývá rovinnými křivkami a jejich křížícími body. Hlavní částí je důkaz Bézoutovy věty a přehled jejích důsledků, které mají zajímavé geometrické znázornění. Mezi důsledky je pro praxi nejdůležitější důkaz asociativity sčítání na eliptických křivkách - sčítání je hojně využívané v moderní kryptografii. 21
|
|
|
Vychylující teorie pro kvazikoherentní svazky
Čoupek, Pavel ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Trlifaj, Jan (oponent)
V práci zavádíme definici 1-kovychylujícího objektu v Grothendieckově kategorii a studujeme vztah této definice k analogii standardní definice 1- kovychylujícího modulu. Zejména pak studujeme 1-kovychylující svazky na noetherovském schématu X: za požití klasifikace dědičných torzních párů kategorie kvazikoherentních svazků na X přiřadíme každé beztorzní dědičné třídě F, která je generující, 1-kovychylující kvazikoherentní svazek, jehož 1- kovychylující třída je rovna F. Obdržíme tak množinu po dvou neekvivalentních 1-kovychylujících kvazikoherentních svazků parametrizovaných podmnožinami X uzavřenými na specializace, které neobsahují množinu asociovaných bodů zv- oleného generátoru kategorie kvazikoherentních svazků. V mnohých případech (např. pro separovaná schémata) lze tuto množinu zakázaných bodů volit jako množinu asociovaných bodů samotného schématu. 1
|
host ::
RSS.